Regla de Ruffini para resolver ecuaciones y factorizar

La regla de Ruffini es un método que permite:

  • Resolver ecuaciones de tercer, cuarto, quinto… grado.
  • Dividir un polinomio entre un binomio del tipo x-a.
  • Factorizar polinomios de tercer grado o mayor (cuarto, quinto…).
  • Calcular las raíces de polinomios de grado igual o mayor que 3.

Para las ecuaciones de grado superior a 2 se suele utilizar la Regla de Ruffini, con la cual sólamente se obtienen las soluciones enteras. Si la ecuación tiene soluciones complejas o reales, este método no es válido.

Para obtener las soluciones de la ecuación, lo primero que debemos hacer es factorizar, por lo que con un único ejm explicaremos ambos conceptos.

Ejm

Tenemos la siguiente ecuación:

  • x3+2x2-x-2 = 0

A) Identificamos los coeficientes de cada término, que son los números que van delante de la incógnita (en negrita).

1x3 + 2x2 -1x - 2 = 0

B) Trazamos 2 líneas perpendiculares, como las que muestran la figura de abajo.

Regla de Ruffini

C) Colocamos los coeficientes de cada término, ordenados por su grado de mayor a menor.

Regla de Ruffini 2

En la regla de Ruffini el grado va disminuyendo de 1 en 1, y cada grado tiene su lugar, si no hubiera ningún término en x2, pondríamos un cero en su lugar.

Los números que hemos escrito hasta ahora en el método de Ruffini, es equivalente a escribir la ecuación, es decir:

Regla de Ruffini 3

D) Lo siguiente es escribir el número a la izquierda de la línea vertical. Dicho número corresponde al número (a) del binomio x-a.

Regla de Ruffini 4

En este caso, escribir ahí un 1, significa el binomio (x – 1) en el método de Ruffini

E) Comenzamos a ejecutar el método. El primer hueco de la segunda fila siempre se queda libre.

Regla de Ruffini 5

F) Se realiza la suma de la primera columna, y el resultado se escribe abajo, de la siguiente manera.

Regla de Ruffini 6

G) Se multiplica el número de la izquierda por el resultado de la suma de la primera columna. El resultado se coloca en el hueco de la segunda columna.

Regla de Ruffini 7

H) Se realiza la suma de la segunda columna al igual que lo hicimos con la primera.

Regla de Ruffini 8

I) Se multiplica el número de la izquierda por el resultado de la suma de la segunda columna. El resultado se coloca en el hueco de la tercera columna.

Regla de Ruffini 9

J) Así sucesivamente hasta completar todas las columnas

Regla de Ruffini 10

K) El objetivo es que en la última columna tengamos un 0. Esta es la explicación de qué número colocar a la izquierda de la línea.

Regla de Ruffini 11

Si no tenemos un cero, tendríamos que probar con otro número a la izquierda de la línea vertical y reiniciar el proceso.

Regla de Ruffini 12

Lo que nos ha quedado en la última fila es otra ecuación, pero ahora, el número que está a la izquierda del 0, tiene grado 0 y  éste va aumentando de 1 en 1 hacia la izquierda. En este caso, nos queda lo equivalente a tener esta ecuación.

Regla de Ruffini 13

Y como hemos visto antes, el 1 a la izquierda de la línea vertical significaba:

Regla de Ruffini 14

Lo que quiere decir que lo que tenemos hasta ahora es el producto de esas dos ecuaciones, que es igual a la ecuación original:

Regla de Ruffini 15

Con la fila resultante volvemos a empezar el proceso, vamos a buscar una raíz que al dividir el polinomio nos dé de resto cero.

Regla de Ruffini 16

Repetimos el mismo proceso de antes.

Regla de Ruffini 17

Al final tenemos un 6, y lo que queremos es tener un cero. Por tanto, debemos seguir probando, con -1, con 2, con -2… hasta encontrar el número que nos haga tener un cero en la última columna.

Regla de Ruffini 18

Habremos terminado cuando el mayor grado sea 1, ésto es así en nuestro ejm.

Regla de Ruffini 19

El resultado de la factorización de la ecuación por el método de Ruffini es el producto de la última fila y de los números que están a la izquierda de la línea vertical, pero expresados en forma de ecuación.

Regla de Ruffini 20

Ya hemos encontrado las 3 soluciones a la ecuación de tercer grado:

Regla de Ruffini 21

Regla de Ruffini para dividir entre binomios de la forma x-a o x+a

Veamos un ejm donde vamos a utilizar la Regla de Ruffini para dividir un polinomio cualquiera entre un binomio de la forma x-a o x+a. Nos piden realizar la siguiente división.

2 regla de Ruffini

Como el divisor es x-2, es decir, es de la forma x-a, utilizamos la regla de Ruffini. Solo debemos aplicar la regla una sola vez.

Esta vez, el número que tenemos que colocar a la izquierda de la línea vertical es 2 (la a de x-a) y no tenemos que preocuparnos de si tenemos un cero en la columna final o no. El resultado que nos dé, será el resto de la división.

2 regla de Ruffini 2

El  cociente de la división será el polinomio formado por los coeficientes de la última fila.

C(x) = x2+4x+7

Y el resto será el último elemento de la última fila.

R(x) = 12